階乗が二乗より圧倒的、な証明

「n²と(n+1)²の間に素数が存在する」事を証明するために「n!がn²より大きい」事を証明してみる

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(1) n＝4のとき、4²＝16、4!＝24、よりn²＜n!が成立。
(2) n＜4で、n²＜n!が成立すると仮定する。

(n＋1)!－(n＋1)²＝(n＋1)(n!)－(n²＋2n＋1)
　＝n*n!＋nーn²－2n－1
　＞n*n²－n²－n－1
　＝n³－n²－n－1
　＝n²(n－1)－(n－1)＋2
　＝(n²－1)(n－1)＋2
　＝(n＋1)(n－1)²＋2＞0
よって n²＜n! が成立すれば、(n＋1)²＜(n＋1)!が成立する。

数学的帰納法により、n＜4においては「n²＜n!」が成立する。

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まぁ、「n!からn!＋nまで素数平原」だとしても、「n²と(n+1)²の間に素数が存在する」には使えないんだけど。

（n!＜m²＜(m+1)²＜n!+n＜(n+1)! となっていれば、素数が存在する証明に使えない）