すうがくの計算。

昼頃に、こんなツイートを見ました。

n沢直樹は、n>0の時は1/n倍返しをし、n≦0では仕返ししない。この時、n=m(m+3)(m-3)沢直樹は、n^2+^m^2≧16の下では最大で何倍返し出来るか。 (東京大 '14)

— seirin (@seirin0919) August 27, 2013

元ネタ（半沢直樹の倍返し）を無視して、数学の計算式にするとこうなります。

n^2+m^2≧16のとき、1/nは最大いくつになるか。
ただしn＞0、n=m(m+3)(m-3) とする。

ちょっと長くなるので、解法は記事の続きに切り出します。
解法を端折ると、最大0.4015ぐらい。

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考え方として、まずnは小さければ小さいほうがよいが、mは小さいほうが良いとは限らない（3次式なので、mが増えるとnが減る範囲が一応存在する）。
また、nおよびmは大きいほうが、平方和が16以上の条件を満たしやすい。
この条件を矛盾なく満たすためには、『n^2+m^2≧16』を満たす最小のnおよびmを求める必要があります。
その方針に基づいて解いた結果、このようになりました。

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まず題意より。

n^2+m^2＝(m^3-9m)^2+m^2≧16
m^6-18m^4+82m^2≧16
m^6-18m^4+82m^2-16≧0

m^2を1つの文字と見ると、左辺は3次式になります。

m^6-18m^4+82m^2-16≧0
X^3-18X^2+82X-16≧0　（X＝m^2とした）
(X-8)(X^2-10X+2)≧0
X＝8、5±sqrt(21) のときn^2+m^2＝16となる。

この3次式を解いたことで、mの値がわかります（m＝±sqrt(X)）。
そして問題は、1/n＝1/(m^3-9m) の最大値なので、得られたmの値（6つ！）を代入すると、

m＝ sqrt( 8 ) ≒ 2.828427125 / n＝-2.828427125：n＜0より題意に反する。
m＝ sqrt( 5-sqrt(23) ) ≒ 0.45185006 / n＝-3.974397001：n＜0より題意に反する。
m＝-sqrt( 5+sqrt(23) ) ≒ -3.129829312 / n＝-2.490816829：n＜0より題意に反する。

m＝-sqrt( 8 ) ≒ -2.828427125 / n＝ 2.828427125 / 1/n＝ 0.353553391
m＝-sqrt( 5-sqrt(23) ) ≒ -0.45185006 / n＝ 3.974397001 / 1/n＝ 0.251610496
m＝ sqrt( 5+sqrt(23) ) ≒ 3.129829312 / n＝ 2.490816829 / 1/n＝ 0.401474724

m＝ sqrt( 5+sqrt(23) ) ≒ 3.129829312 のとき、 1/n は最大値 0.401474724 をとる。

……ちなみに、m^2=8を出す経緯が端折られているのは、3次式の計算サイトに頼ったからだったりします……。